Sırada Hangi Numara Var? Tamsayı Dizileri Ansiklopedisi’ne sorun.

Bazı sayılar tektir:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 …

Hatta bazıları:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 …

Ve sonra şaşırtıcı “eban” sayıları var:

2, 4, 6, 30, 32, 34, 36, 40 …

Sırada hangi sayı var? Ve neden?

Bunlar, Highland Park, NJ’de matematikçi olan Neil Sloane’un sormayı sevdiği sorular. Dr. Sloane, kesin bir kural veya özellik tarafından tanımlanan 362.765 (ve sayma) sayı dizisinden oluşan bir veritabanı olan Tamsayı Dizilerinin Çevrimiçi Ansiklopedisi’nin kurucusudur. Asal sayılar gibi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 …

Veya Fibonacci sayıları — her terim (3. terimden başlayarak) kendinden önceki iki sayının toplamıdır:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …

“Matematiğin ana indeksi” ve “FBI’ın hacimli parmak izi dosyalarının matematiksel eşdeğeri” olarak övülen OEIS bu yıl 50. yılını kutluyor. Orijinal koleksiyon olan “A Handbook of Integer Sequences” 1973’te yayınlandı ve 2.372 giriş içeriyordu. 1995 yılında, 5.487 sekans ve ek bir yazar olan Quebec’li bir matematikçi olan Simon Plouffe ile bir “ansiklopedi” haline geldi. Bir yıl sonra koleksiyonun boyutu yeniden ikiye katlandı, bu yüzden Dr. Sloane onu internete koydu.

Dr. Sloane yakın tarihli bir röportajda “Bir anlamda, her sekans bir bilmecedir” dedi. Bulmaca yönünün, veritabanının ana amacına göre tesadüfi olduğunu ekledi: tüm matematiksel bilgileri organize etmek.

Vahşi doğada bulunan diziler – matematikte, aynı zamanda kuantum fiziğinde, genetikte, iletişimde, astronomide ve başka yerlerde – birçok nedenden dolayı kafa karıştırıcı olabilir. Bu varlıkları OEIS’de aramak veya veri tabanına eklemek bazen aydınlanmaya ve keşfe yol açar.

Indiana’daki Valparaiso Üniversitesi’nden matematikçi ve OEIS Vakfı mütevelli heyeti üyesi Lara Pudwell, “Bu beklenmedik sonuçların kaynağı” dedi. Dr. Pudwell, sayma problemlerini çözmek için algoritmalar yazıyor. Birkaç yıl önce, bu şekilde meşgulken, OEIS arama kutusuna sayısal kalıpları incelerken ortaya çıkan bir diziyi girdi:

2, 4, 12, 20, 38, 56, 88 …

Ortaya çıkan tek sonuç kimyayla ilgiliydi: özellikle periyodik tablo ve toprak alkali metallerin atom numaraları. Pudwell, “Bunu kafa karıştırıcı buldum,” dedi. Kimyagerlere danıştı ve kısa süre sonra “bağlantıyı açıklamak için üzerinde çalışılacak ilginç kimyasal yapılar olduğunu fark etti.”

Dizi şans, Google’da bir yazılım mühendisi olan Russ Cox’un “bilimler için inanılmaz çapraz bağ dokusu” dediği şeyi sağlar. Cambridge, Massachusetts merkezli Dr. Cox, OEIS yönetim kurulu başkanıdır. Bir programlama yarışması yapbozundan ortaya çıkan ilk dizisini 1996 yılında bir lise öğrencisiyken teslim etti. biçim.”

Stanford’da bir bilgisayar bilimcisi olan ve başka şeylerin yanı sıra algoritma analiziyle tanınan Donald Knuth da büyük buluşlara imza attı. Yeni bir problem üzerinde çalışırken her zaman OEIS’i arar. “Yatak arkadaşlarımı buluyor,” dedi. “Güzel olan şey, literatürde yolunuzu hesaplayabilmeniz.”

Sayısal bir can alıcı nokta

Veritabanında “bulmaca” araması 1.700’den fazla sonuç verir. Rubik küpü ve onun “Tanrı’nın Sayısı” gibi bazı girişler, karıştırılmış bir küpü çözmek için gereken maksimum dönüş sayısı gibi fiziksel bulmacaları tanımlar: 2 × 2 × 2 küp için 11, klasik 3 × 3 × 3 küp için 20 . Bunun ötesinde – diyelim ki 4 × 4 × 4 Rubik’in İntikamı için – Tanrı’nın Sayısı belirsizdir ve şu ana kadar kısa bir dizi oluşturur: 0, 11, 20.

Massachusetts Institute of Technology’de bilgisayar bilimcisi olan Erik Demaine bir e-postada, “4 × 4 × 4 için Tanrı’nın sayısıyla ilgili sınırlarımız var, ancak bunlar çok gevşek,” dedi. “31 ile 16.777.214 arasında olduğunu biliyoruz.”

OEIS, Dr. Sloane tarafından icat edilen eban dizisi gibi, dalga geçen ve şaka gibi iniş yapan diziler üzerine uzun süredir. “Çok, çok basit,” dedi. “Yine de kimse bunu tahmin edemez.”

Daha fazla terim yararlı olmayabilir: 2, 4, 6, 30, 32, 34, 36, 40, 42, 44, 46, 50, 52, 54, 56, 60, 62, 64, 66, 2000, 2002, 2004 2006, 2030…

Eban numaralarının can alıcı noktası, “e” harfinin yasaklanmış olmasıdır: Bu dizi, sayılar yazıldığında “e” harfini içeren hiçbir sayı içermez.

Sloane, “Eban biraz ‘çift’ gibi geliyor ve bu çok hoş bir kelime oyunu,” dedi – çünkü “e” olmayan sayılara bakarsanız hepsi çifttir. “Bu benim eski bir teorem: İngilizce’de her tek sayının içinde bir ‘e’ vardır. Ve böylece ‘e’nin yasak olduğu tüm sayılar çifttir. Tabii ki, tüm çift sayılar eban değildir, ancak iyi bir dizi oluşturmak için yeterlidir.

Bir sonraki sayı nedir?

İşte denenecek birkaç dizi daha (cevaplar aşağıda):

1) 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101 …

2) 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211 …

3) 5, 8, 12, 18, 24, 30, 36, 42 …

4) 14, 18, 23, 28, 34, 42, 50 …

Dr. Sloane ilk olarak 1964’te yüksek lisans öğrencisiyken dizi aramaya başladı. Yapay bir sinir ağındaki (insan beynini taklit eden bir matematiksel sistem) yolları inceleyerek yaptığı hesaplamalar şunları üretti:

0, 1, 8, 78, 944, 13800 …

Nisan ayında yayınlanan bir retrospektifte “Terimlerin büyüme oranını belirlemek için n’inci terim için bir formüle fena halde ihtiyacım vardı” diye yazmıştı. “Bu, bu çok basit sinir ağındaki etkinliğin ne kadar süreceğini gösterir.” Ders kitaplarını, referans kitaplarını, dergileri araştırarak yaklaştı, ancak sıralama yok. Sonunda kombinatoryalist John Riordan ile birlikte formülü ve bir sonraki terimi buldu: 237432.

Yol boyunca, Dr. Sloane sekansları dosya kartlarına, ardından delikli kartlara kaydetti. “Bunlara asla ‘delikli kartlar’ denmedi,” diye yazdı. “1960’larda onlarla çalışan herkes için ‘delikli kartlar’ kulağa ‘ızgara peynir’ yerine ‘ızgara peynir’ gibi geliyor.”

1995’te çevrimiçi olduğunda, 43 yıl çalıştığı AT&T Labs web sitesindeki ana sayfasına hakim oldu. 2010 yılında moderatörlü bir wiki haline geldi ve şu anda günde 50 veya daha fazla yeni gönderiyle mücadele eden yaklaşık 170 uluslararası gönüllü editör tarafından yönetiliyor. OEIS Vakfı kısa bir süre önce tam zamanlı bir yönetici editörü finanse etmek için bir bağış kampanyası duyurdu.

Dr. Sloane’un konuyla ilgili özel dersi “Bir Dizi Bağımlısının İtirafları” başlığını taşıyor. Ve en sevdiği dizileri eğitici bir matematik YouTube kanalı olan Numberphile’da sergiliyor ve “Sırada hangi sayı geliyor?” bu alayın beğenileriyle:

1, 4, 8, 48, 88, 488 …

Bunu çözmenin en iyi yolu “bu sayılara bakmak” tavsiyesinde bulundu. “8 numaraya bak. Ne görüyorsun?”

“‘8’i görüyorsun ama daha da önemlisi iki delik görüyorsun,” dedi. “48’e baktığınızda üç delik görüyorsunuz; 88’in içinde dört delik vardır; 4’ün bir deliği var.”

“Ve 1’in içinde hiç delik yok. Yani, bu dizinin tanımı şudur: İçinde ‘n’ delik bulunan en küçük pozitif sayı.” (Yani, kapalı bir “4” ve kapalı döngü içermeyen bir “2” varsayılarak.)

Bir Sisifos görevi

Sloane’un şu anki favorileri arasında, 2022’de Brüksel’de gazeteci ve amatör matematikçi olan Éric Angelini ve onun bir zamanlar suç ortağı olan Toulouse, Fransa’dan Carole Dubois tarafından tasarlanan Sisifos dizisi var.

1, 3, 6, 3, 8, 4, 2, 1, …

Sisifos kuralı: Sayı çiftse ikiye bölün. Sayı tek ise, henüz eklenmemiş en küçük asal sayıyı ekleyin. İlk terim olan 1 tektir, bu nedenle en küçük asal sayı olan 2’nin eklenmesi 3’ü verir; 3 tektir, bu nedenle bir sonraki asal olan 3’ün eklenmesi 6’yı verir; 6 çifttir, yani ikiye bölmek 3’ü verir, vb.

“İşte ilginç soru şu,” dedi Dr. Sloane: Bazı sayılar birden fazla görünüyor, ancak her sayı en az bir kez mi görünüyor? “Bilmiyoruz.”

36 sayısı inatçıydı – dizi bir milyar terime hesaplandıktan sonra hala yoktu. Bu “gerçekten endişe vericiydi” dedi Dr. Sloane. “36 eksik olsaydı, evrendeki bir zemin gibi olurdu.”

Geçen yıl bir OEIS yönetim kurulu toplantısının sonunda, başkan Dr. Sloane başka iş olup olmadığını sordu ve olmadığı için Sisifos’un nasıl sıkıştığını anlattı. Toplanan uzmanlara, “36 hiç bu güzel dizide yer alıyor mu?” diye sordu. İki saat sonra, Dr. Cox 77 milyar terimin uzak noktalarında buldu — 7.7534.485.877’nci terim 36’ya iniyor.

Dr. Sloane, hâlâ Sisifos’u düşünürken, aynı zamanda – her zaman – çok sayıda önemli gelişme ve keşfi takip ediyor. Bay Angelini ona “bulmaca avcısı” dedi. Dr. Sloane bir “dizi kovalayıcı” olduğunu kabul etti. Ve sıcak takipte olmadığı zamanlarda, “The Joy of Seqs” adlı kitabı üzerinde çalışıyor.

Yanıtlar:

1) 111.Bunlar “strobogrammatik” sayılardır – aynı baş aşağı veya 180 derece döndürülmüş (yatay eksen boyunca döndürülmemiş).

2) 13112221.Bu, “Bak ve Söyle” dizisidir: İlk terim olan 1’de, gördüğünüzü tarif edersiniz – bir 1 – yani sonraki terim 11’dir. İkinci terimde (11) yine gördüğünüzü tarif edersiniz – iki 1 – yani bir sonraki terim 21’dir. Bunu açıklamak – bir 2 ve bir 1 – bir sonraki terimle sonuçlanır, 1211 vb.

3) 52.Ardışık iki asal sayının toplamı.

4) 59.Manhattan’daki 1 numaralı trende numaralı duraklar.