Yeni, Geliştirilmiş ‘Einstein’ ile Bulmacacılar Bir Matematik Problemini Çözüyor

Mart ayında, matematiksel döşemecilerden oluşan bir ekip, hikayeli bir soruna çözüm bulduklarını duyurdu: Anlaşılması zor bir “einstein” keşfettiler – bir düzlemi döşeyen tek bir şekil veya sonsuz iki boyutlu düz bir yüzey, ancak yalnızca tekrarlanmayan bir modelde. Orijinal keşfi araştırmayı teşvik eden şekil meraklısı David Smith, “Her zaman bir keşif yapmak istemişimdir,” dedi.

Bay Smith ve işbirlikçileri, Einstein’larına “şapka” adını verdiler. (“Einstein” terimi, Almanca “ein stein” veya “tek taş” – daha gevşek, “tek karo” veya “tek şekil” kelimesinden gelir.) O zamandan beri Jimmy Kimmel için bir duş perdesi, bir yorgan oldu. , diğer saçmalıkların yanı sıra bir futbol topu ve çerez kesiciler. Hatfest, Temmuz ayında Oxford Üniversitesi’nde gerçekleşiyor.

Etkinliğin konuşmacı listesinde yer alan Smith College’dan matematikçi Marjorie Senechal, “Küçük bir çokgenin bu kadar yaygara koparabileceğine kim inanır ki,” dedi.

Araştırmacılar keşiften ve yaygaradan memnun kalmış ve yeterince rahat bırakmış olabilirler. Ancak İngiltere, Doğu Yorkshire’daki Bridlington’dan ve “hayal gücü kuvvetli bir tamirci” olarak bilinen Bay Smith, tamir etmekten kendini alamadı. Şimdi, iki ay sonra, ekip kendini yeni ve geliştirilmiş bir einstein ile bir adım öteye taşıdı. (Her iki sonuç için de makaleler henüz akran değerlendirmesinden geçmemiştir.)

Bu döşeme arayışı ilk olarak 1960’larda, matematikçi Hao Wang’ın bir uçağı yalnızca periyodik olarak döşeyebilecek bir dizi şekil bulmanın imkansız olacağını tahmin etmesiyle başladı. Artık Lexington, Massachusetts’te emekli bir elektrik mühendisi olan öğrencisi Robert Berger, bunu yapan 20.426 taşlık bir set ve ardından 104 karoluk bir set buldu. 1970’lerde, Oxford’da matematiksel fizikçi olan Sir Roger Penrose, ikiye indirdi.

Ve sonra monotil şapka geldi. Ama bir kıpırdanma oldu.

Berger (son makalelerin araştırmacıları da dahil olmak üzere diğerleri arasında), şapka döşemesinin yansımaları kullandığını belirtti – hem şapka şeklindeki döşemeyi hem de onun ayna görüntüsünü içeriyor. Berger, “Bu konuda seçici olmak istiyorsanız, diyebilirsiniz ki, bu gerçekten tek parçalı bir set değil, bu iki parçalı bir set ve diğer karo ilkinin bir yansıması oluyor” dedi. .

Yazarlar yeni makalede, “Bir dereceye kadar, bu soru matematiksel soyutlamalardan ziyade fiziksel nesneler olarak fayanslarla ilgili” diye yazdı. “Kağıt veya plastikten kesilmiş bir şapka, yansımasını elde etmek için kolayca üç boyutlu olarak döndürülebilir, ancak sırlı bir seramik karo olamaz.”

Yeni monotil keşif, yansımaları kullanmaz. Ve araştırmacıların onu bulmak için uzaklara bakmaları gerekmedi – bunun “şapkanın yakın bir akrabası” olduğunu belirttiler.

İngiltere, Cambridge’de bir yazılım geliştiricisi olan ortak yazar Joseph Myers, “Böyle bir kutucuğun var olmasına şaşırmadım” dedi. “Şapkayla bu kadar yakın akraba olması şaşırtıcıydı.”

Başlangıçta ekip, şapkanın, yansımaları kullanarak periyodik olmayan döşemeler üreten, şapkanın kenarlarını artırarak ve azaltarak elde edilen sayılamaz bir şekiller sonsuzluğu olan geçiş sürekliliğinin bir parçası olduğunu keşfetti.

Ancak ortak yazar ve Waterloo Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Craig Kaplan, “sürekliliğin haydut bir üyesi” olan bir istisna vardı. Teknik olarak Döşeme (1,1) olarak bilinen bu şekil, şapkanın eşkenar bir versiyonu olarak kabul edilebilir ve bu nedenle periyodik olmayan bir monotil değildir. (Basit bir periyodik döşeme oluşturur.) “Bu şeklin gizli bir süper güce sahip olması biraz saçma ve şaşırtıcı,” dedi Dr. Kaplan – yeni keşfin kilidini açan bir süper güç.

Tokyo’daki Japonya Mozaik Tasarım Derneği başkanı Yoshiaki Araki’nin keşiflerinden ilham alan Bay Smith, Mart ayında ilk keşfin çevrimiçi olarak yayınlanmasından kısa bir süre sonra Tile (1,1) ile uğraşmaya başladı. Bir e-postada, “Yalnızca yansımamış karoları kullanırsam ne olabileceğini görmek için, şekilleri karttan makineyle kestim” dedi. Yazarların ifadesiyle, yansıyan karolar “kamu kararıyla” yasaklanmıştı.

Bay Smith, “Oldukça büyük bir yama üretmem çok uzun sürmedi” dedi – karoları bir yapboz gibi, üst üste binme veya boşluk olmadan birbirine uydurma. Bir şeyin peşinde olduğunu biliyordu.

Geleneksel matematiksel akıl yürütme ve çizimin yanı sıra Dr. Kaplan ve Dr. Myers’ın hesaplamalı el işinin bir kombinasyonuyla daha fazla araştırma yapan ekip, bu döşemenin gerçekten de periyodik olmadığını kanıtladı.

Dr. Kaplan sosyal medyada “Biz buna ‘zayıf kiral, periyodik olmayan monotil’ diyoruz” dedi. “Yansımasız bir evrende periyodik değildir, ancak yansımaları kullanmanıza izin veriliyorsa periyodik olarak karolar.”

“Kiral” sıfatı, “el” anlamına gelen Yunanca “kheir” kelimesinden “el tercihi” anlamına gelir. Yeni aperiyodik döşemeyi “kiral” olarak adlandırdılar, çünkü yalnızca sol veya sağ elli döşemelerden oluşuyor. New York’taki Ulusal Matematik Müzesi’nde ortak yazar ve sosyal yardım matematikçisi olan Chaim Goodman-Strauss, “İkisini karıştıramazsınız” dedi.

Ekip daha sonra bir adım daha ileri gitti: T(1,1) karosunda basit bir değişiklik yaparak güçlü veya “kesinlikle kiral aperiodik monotiller” ailesi ürettiler: Düz kenarları eğrilerle değiştirdiler.

“Hayaletler” olarak adlandırılan bu monotiller, kıvrımlı konturları sayesinde yalnızca periyodik olmayan döşemelere ve yansımalara izin vermez. Kaplan, “Solak bir Spectre, sağ elini kullanan ayna görüntüsüyle birbirine kenetlenemez” dedi.

Berger bir e-postada, “Artık periyodik olmayan karo setinin bir mi yoksa iki mi olduğu konusunda tartışma yok” dedi. “Sırlı seramik bir einstein görmek tatmin edici.”

Moravian Üniversitesi’nden matematikçi Doris Schattschneider, “Periyodik olmayan bir monotilden beklediğim şey bu,” dedi. Bir döşeme listesinde, Dr. Araki tarafından Spectre döşemesinin şakacı bir “Escherization” (Hollandalı sanatçı MC Escher’den sonra) görmüştü ve buna “ikiz kafalı domuz” adını vermişti.

Dr. Schattschneider, “Şapka kadar basit değil,” dedi. “Bu gerçekten garip bir karo. Doğanın bir hatası gibi görünüyor.”